1. На рисунке MN || AC. а) Докажите, что AB·BN = СВ·ВМ. б) Найдите MN, если AM = 6 см, BM = 8 см, AС = 21 см. 2. Даны стороны треугольников PQR и ABC: PQ = 16 см, QR = 20 см, PR = 28 см и АВ = 12 см, ВС = 15 см, АС = 21 см. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку MN || AC, то треугольники MAB и MCB подобны по теореме об угловой прямой. Значит, AB/BM = CB/BM, откуда AB·BN = СВ·ВМ.
б) Используем теорему Пифагора в треугольнике AMB: AM^2 + BM^2 = AB^2. Подставляем данные и находим AB = 10 см. Также, так как AB·BN = СВ·ВМ, мы можем записать AM·BN = MV·CM. Теперь можем решить систему уравнений методом подбора (AM = 6 см, AB = 10 см). Найдем MN = 12 см.

Площадь треугольника вычисляется по формуле S = 0.5 a b sin(C), где a и b - стороны треугольника, C - угол между ними.
Для треугольника PQR: S_PQR = 0.5 16 20 sin(28°)
Для треугольника ABC: S_ABC = 0.5 12 15 sin(21°)
Отношение площадей треугольников: S_PQR / S_ABC = (0.5 16 20 sin(28°)) / (0.5 12 15 sin(21°)) = (16 20 sin(28°)) / (12 15 * sin(21°)) ≈ 1.2
Отношение площадей треугольников PQR и ABC примерно равно 1.2.