В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так что BK:KM=10:9. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину стороны треугольника ABC через a, а длину отрезка BK через x. Тогда длина отрезка KM равна 9x.

Так как точка M является серединой стороны AC, то KM равна половине длины стороны AC, то есть 9x = a/2, откуда x = a/18.

Теперь найдем длину отрезка KP, который является частью медианы BM. Так как BM делит сторону AC в отношении 1:2, то KP = 2x = a/9.

Теперь обратим внимание на треугольники ABC и AKP. Площади этих треугольников связаны следующим образом:

Площадь треугольника AKP = Площадь треугольника ABC * (KP / AC)^2.

Таким образом, отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC равно:

S(KPCM) / S(ABC) = S(AKP) / S(ABC) = (a/9 a/18) / (1/2 a * a) = 1/36.

Ответ: Отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC равно 1/36.