Три прямые а, & и с проходят через точку О и пересекают плоскость а соответственно в точках А, В и С, а параллельную ей плоскость Р — соответственно в точках Аг, Вг и Сх. Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 подобны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства подобия треугольников ABC и A1B1C1 нам нужно показать, что соответствующие углы и их стороны соотносятся между собой пропорционально.

Рассмотрим угол АВС. Поскольку прямые а и & пересекают плоскость а в точках А и В, и проходят через точку О, то угол АВС равен углу А1В1С1.

Рассмотрим угол ВАС. Поскольку прямые а и & пересекают плоскость а в точках А и В, и проходят через точку О, то угол ВАС равен углу В1A1S1.

Таким же образом можно показать, что угол АСВ равен углу А1С1В1.

Теперь докажем, что длины соответствующих сторон треугольников также соотносятся пропорционально:

Сторона АВ. Поскольку плоскость а параллельна плоскости Р, то отрезки AB и АгБг параллельны и соотносятся между собой пропорционально.

Сторона ВС. Аналогично, отрезки ВС и ВгСг параллельны и соотносятся между собой пропорционально.

Сторона АС. Отрезки АС и АгСг также параллельны и соотносятся пропорционально.

Таким образом, углы и стороны треугольников ABC и A1B1C1 соотносятся между собой пропорционально, что означает их подобие.