В треугольнике меньшая сторона равна а и стороны относятся как 2:3:4. В него вписана полуокружность с диаметром, лежащим на большей стороне. Найти радиус полуокружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны треугольника равны 2x, 3x и 4x, где x - коэффициент пропорциональности.

Так как полуокружность вписана в треугольник, то радиус полуокружности равен расстоянию от центра окружности до стороны треугольника. Рассмотрим треугольник, образованный радиусом, высотой и частью большей стороны треугольника.

По теореме Пифагора
r^2 = h^2 + (3x - r)^2,

где h - расстояние от центра окружности до большей стороны, r - радиус полуокружности.

Так как треугольник является прямоугольным, мы можем использовать похожие треугольники для нахождения h
h / r = (3x - r) / r
h = r * (3x - r) / r = 3x - r.

Подставим h в уравнение Пифагора
r^2 = (3x - r)^2 + (3x - r)^2
r^2 = 9x^2 - 6xr + r^2 + 9x^2 - 6xr + r^2
r^2 = 18x^2 - 12xr + 2r^2
16x^2 = 12xr
r = 4x / 3.

Таким образом, радиус полуокружности равен 4x / 3.