Во сколько раз площадь ΔАВС больше площади ΔА₁В₁С₁, если стороны ΔАВС в 2√3 раза больше соответствующих сторон ΔА₁В₁С₁?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны треугольника ΔАВС равны a, b и c, а стороны треугольника ΔА₁В₁С₁ равны a₁, b₁ и c₁.

Так как стороны ΔАВС в 2√3 раза больше соответствующих сторон ΔА₁В₁С₁, то a = 2√3a₁, b = 2√3b₁, c = 2√3c₁.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = √(p(p - a)(p - b)(p - c))

где p - полупериметр треугольника, равный (a + b + c)/2.

Тогда площади треугольников ΔАВС и ΔА₁В₁С₁ будут равны:

S = √((a + b + c)/2((a + b + c)/2 - a)((a + b + c)/2 - b)((a + b + c)/2 - c)) = √((a + b + c)/2(a + b + c)/2(a + b + c)/2) = 1/4(a + b + c)²

S₁ = √((a₁ + b₁ + c₁)/2((a₁ + b₁ + c₁)/2 - a₁)((a₁ + b₁ + c₁)/2 - b₁)((a₁ + b₁ + c₁)/2 - c₁)) = √((a₁ + b₁ + c₁)/2(a₁ + b₁ + c₁)/2(a₁ + b₁ + c₁)/2) = 1/4(a₁ + b₁ + c₁)²

Так как a = 2√3a₁, b = 2√3b₁, c = 2√3c₁, то a + b + c = 2√3(a₁ + b₁ + c₁), а значит:

S = 1/4(2√3(a₁ + b₁ + c₁))² = 3(a₁ + b₁ + c₁)²

S₁ = 1/4(a₁ + b₁ + c₁)²

Таким образом, площадь треугольника ΔАВС в 3 раза больше, чем площадь треугольника ΔА₁В₁С₁.