В параллелепипеде abcda1b1c1d1 точки e и f середины b1c1 и c1d1 соответственно aa1 параллельна ef. Докажите, что b1d=bd1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Поскольку точки e и f являются серединами отрезков b1c1 и c1d1, то отрезки be и ec1, а также отрезки cf и fd1 равны между собой.

Так как отрезок aa1 параллелен отрезку ef, то треугольники aeb1 и afc1 подобны (по теореме об углах, соответствующих и равных пропорциональных сторонах).

Из подобия треугольников получаем, что:

AB1/AE = AC1/AF

BD1/EC1 = CD1/FC1

Поскольку отрезки be и ec1 равны, домножим обе части равенства в первом уравнении на ec1, а во втором уравнении на fc1:

AB1 = AE(AC1/AF)(EC1)

BD1 = EC1(CD1/FC1)(FC1)

После упрощения получаем:

AB1 = AE*AC1

BD1 = CD1

Так как AB1=BD1, то b1d и bd1 равны между собой, что и требовалось доказать.