Одна из боковых граней параллелепипеда - квадрат. Диагональ параллелепипеда равна корень из 1200 и образует с плоскостью этой грани угол 60 градусов. Найдите объем параллелепипеда.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона квадрата, являющегося одной из боковых граней параллелепипеда, равна $a$, тогда площадь этого квадрата равна $a^2$.

Так как диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{1200}=20\sqrt{3}$, а угол между диагональю и плоскостью квадрата равен 60 градусам, то мы можем получить, что высота параллелепипеда, проведенная из его вершины к центру основания квадрата, равна $\frac{a}{2}$, а основание параллелепипеда - квадрат.

Таким образом, получаем, что объём $V$ параллелепипеда равен $V = \frac{1}{3} \cdot a \cdot a^2 = \frac{a^3}{3}$. Из вышеизложенного замечаем, что он равен $\frac{a}{3} \cdot \frac{a^2}{3} \cdot \frac{a^2}{3}$.

Теперь для нахождения объема параллелепипеда осталось найти одну из сторон $a$. Так как правильный треугольник лиег в основании (проекция основания на плоскость грани: две стороны в $\frac{a}{2}$ и $\frac{a}{2}$, третья сторона в $a$), воспользуемся теоремой косинусов:

$$a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos 60^\circ$$

$$a^2 = \frac{a^2}{2} - a^2 \cdot \frac{1}{2}$$
$$a^2 = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2}$$
$$a^2 = \frac{a^2}{2}$$
$$a = \frac{a}{\sqrt{2}}$$
$$a = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Получается, что $a = 2 \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2}$, и объем $V = \frac{20\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{20\sqrt{2}^2}{3} = \boxed{1600}$.

Альтернативное решение:

Пусть стороны параллелепипеда соответственно равны $a$, $b$, и $c$, тогда, зная, что объем параллелепипеда равен $V = abc$, можем сразу составить уравнение:

$$V = abc = 1200\sqrt{3}$$

Также заметим, что сторона $b = c = a\sqrt{2}$, поскольку угол между диагональю и ребром параллелепипеда равен 60 градусам.

Таким образом, получаем уравнение $a \cdot a \cdot a\sqrt{2} = 1200\sqrt{3}$, откуда $a = 20$, и, зная, что $b = a\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$, и $V = abc = 20\cdot 20 \cdot 20\sqrt2 = 1600$.

Ответ: V = 1600.