В окружность вписан правильный 8-угольник и его площадь 8 квадратных корней из 2. найдите радиус

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь правильного восьмиугольника можно выразить через его сторону (a) и радиус описанной окружности (R):

[S = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot R]

Так как вписанный правильный восьмиугольник это равносторонний, то можно выразить сторону через радиус описанной окружности:

[a = 2R \cdot \sin \left( \frac{180^\circ}{8} \right) = 2R \cdot \sin \left( 22.5^\circ \right) = 2R \cdot \sin \left( \frac{\pi}{8} \right)]

Подставляем выражение для стороны в формулу для площади:

[8\sqrt{2} = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \cdot R]

[8\sqrt{2} = 8R^2 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right)]

[R^2 = \frac{\sqrt{2}}{\sin \left( \frac{\pi}{8} \right)}]

[R = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{\sin \left( \frac{\pi}{8} \right)}}]

[R = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}]

Таким образом, радиус описанной окружности равен (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}).