Треугольники АО1О2 и АВС, а также треугольники АВС и АО3О4 подобны по третьему признаку и имеют одинаковые коэффициенты подобия. Найдите стороны треугольника АВС

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны треугольника АВС равны a, b, c.

Так как треугольники АО1О2 и АВС подобны, то соответствующие стороны пропорциональны:

AO1 / AB = AO2 / AC = O1O2 / B
a / (a + b) = b / c = 1 / (c - a)

Также, так как треугольники АВС и АО3О4 подобны и имеют одинаковые коэффициенты подобия, то соответствующие стороны пропорциональны:

AB / AO3 = AC / AO4 = BC / O3O
a / (c - a) = b / (b + c) = c / a

Из этих двух пропорций получаем систему уравнений:

a / (a + b) = b / c => a = (b^2) / c -
a / (c - a) = b / (b + c) => a = (b(c - b)) / (b + c)

Отсюда получаем уравнение:

(b^2) / c - b = (b(c - b)) / (b + c)

b^2(b + c) = c(b(c - b)) - b(b + c)

b^3 + b^2c = bc^2 - b^2c - bc^2 + b^3 - b^2c

2b^3 - 2b^2c - bc^2 =
b(2b^2 - 2bc - c^2) = 0

b = 0 или 2b^2 - 2bc - c^2 = 0

Если b = 0, то треугольник отсутствует, поэтому рассмотрим другой случай:

2b^2 - 2bc - c^2 =
b^2 - bc = (c^2) /
b(b - c) = (c^2) / 2

Таким образом, стороны треугольника АВС равны b, c и (c^2) / 2.