В треугольнике ABC медианы CD и BE пересекаются в точке K. Найдите площадь четырёхугольника ADKE, если BC = 20, AC = 12, угол ACB = 135 градусов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину медианы CD. Поскольку точка K - центральная точка медианы, то DK=CK. Рассмотрим треугольник BCK. По теореме косинусов найдем длину стороны BK
$$BK^2 = BC^2 + CK^2 - 2 \cdot BC \cdot CK \cdot \cos \angle BCK$$

$$BK^2 = 20^2 + \frac{12^2}{4} - 2 \cdot 20 \cdot \frac{12}{4} \cdot \cos 135^\circ$$

$$BK^2 = 400 + 36 - 60 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$BK^2 = 436 - 30 \cdot \sqrt{2}$$

Так как DK = CK, то DK = CK = $\frac{1}{2} \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{436 - 30 \cdot \sqrt{2}}$

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Найдем главные значения синуса и косинуса угла BAC
$$\cos \angle BAC = \cos {(180^\circ - 135^\circ - \angle ACB)} = - \cos 45^\circ = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\sin \angle BAC = \sin {(180^\circ - 135^\circ - \angle ACB)} = - \sin 45^\circ = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Затем, найдем расстояние от точки A до медианы CD, то есть отрезка DK. Воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними
$$S_{ADK} = \frac{1}{2} \cdot DK \cdot AD \cdot \sin \angle KDA$$

$$S_{ADK} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{436 - 30 \cdot \sqrt{2}} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \cdot \sqrt{109 - 15 \cdot \sqrt{2}}$$

Ответ: $3 \cdot \sqrt{109 - 15 \cdot \sqrt{2}}$.