В тре­уголь­ни­ке ABC BM — ме­ди­а­на и BH – высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Най­ди­те угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABC.

Пусть угол CAB = α.
Тогда угол BAC = 180° - 40° - α = 140° - α.

По теореме косинусов в треугольнике ABC:
BC² = AC² + AB² - 2 AC AB cos(40°).
216² = AB² + BC² - 2 216 AB cos(40°).

По теореме косинусов в треугольнике AHC:
HC² = AC² + AH² - 2 AC AH * cos(140°).

Подставим значения и решим систему уравнений. Получим, что AB = 135, а значит, BM = 135 / 2 = 67.5.

Теперь для нахождения угла AMB найдем косинус этого угла по теореме косинусов в треугольнике AMB:
MB² = AM² + AB² - 2 AM AB cos(∠AMB).
67.5² = AM² + 135² - 2 AM 135 cos(∠AMB).

Решив систему уравнений, получим значение угла ∠AMB, равное 90°.