Диагональ BD четырёхугольника ABCD с параллельными основаниями AD. и BC разбивает его на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и DC . а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD . б) Найдите CD, если известны диагонали четырехугольника BD=5 и AC=8 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку BD - диагональ, а AD и BC параллельны, то треугольники ABD и CBD равнобедренные (так как у них равны основания и одинаковые боковые стороны - BD). Таким образом, углы ABC и ADC равны между собой.

Из равнобедренности треугольников ABD и CBD следует, что углы ABD и CBD равны между собой. Но угол ABD равен углу CDB (так как это вертикальные углы). Получаем, что угол ABC равен углу ADC.

Значит, луч AC делится пополам угол BAD, а значит, он является биссектрисой угла BAD.

б) По теореме косинусов в треугольнике BCD:
$$BC^2 = CD^2 + BD^2 - 2 \cdot CD \cdot BD \cdot cos(\angle CDB)$$

Подставим известные данные: BC = 8, BD = 5, угол CDB = 90 градусов:
$$8^2 = CD^2 + 5^2 - 2 \cdot CD \cdot 5 \cdot cos(90)$$
$$64 = CD^2 + 25 - 10 \cdot CD$$
$$CD^2 - 10 \cdot CD - 39 = 0$$
$$(CD - 13) \cdot (CD + 3) = 0$$

Отсюда получаем, что CD = 13 или CD = -3.
Так как отрицательная длина не имеет физического смысла, то CD = 13.