В тетраэдре DABC М-точка пересечения медиан грани BDC, Е серидина АС. Разложите вектор ЕМ по векторам АС,АВ,AD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек M и E. Поскольку точка M - это точка пересечения медиан треугольника BDC, то координаты точки M будут равны среднему арифметическому координат вершин треугольника BDC:

M = (1/3) * (B + D + C).

С учетом того, что координаты точек граней треугольника BDC следующие: B(0, 0, 0), D(a, 0, 0), C(0, a, a), получаем координаты точки M:

M = (1/3) * (0 + a + 0, 0 + 0 + a, 0 + a + a) = (a/3, a/3, 2a/3).

Теперь найдем координаты точки E, которая является серединой отрезка AC:

Е = (1/2) * (A + C).

Координаты вершин тетраэдра DABC: A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3). С учетом координат вершин получаем координаты точки Е:

E = (1/2) * (x1 + x3, y1 + y3, z1 + z3).

Теперь можно разложить вектор EM по векторам AC, AB, AD:

EM = M - E.

Таким образом, получаем:

EM = (a/3, a/3, 2a/3) - (1/2) * (x1 + x3, y1 + y3, z1 + z3).

EM = (a/3 - (x1 + x3)/2, a/3 - (y1 + y3)/2, 2a/3 - (z1 + z3)/2).

Теперь вспомним, что вектор AC = C - A = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1), AB = B - A = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), AD = D - A = (a - x1, 0 - y1, 0 - z1).

Тогда разложение вектора EM по векторам AC, AB, AD:

EM = (a/3 - (x1 + x3)/2, a/3 - (y1 + y3)/2, 2a/3 - (z1 + z3)/2) =

= (a/3 - (x1 + x3)/2, a/3 - (y1 + y3)/2, 2a/3 - (z1 + z3)/2) =

= (a/3, a/3, 2a/3) - (1/2) * (x1 + x3, y1 + y3, z1 + z3) =

= (a/3 - (x1 + x3)/2, a/3 - (y1 + y3)/2, 2a/3 - (z1 + z3)/2) =

= (a/3 - (x1 + x3)/2, a/3 - (y1 + y3)/2, 2a/3 - (z1 + z3)/2).

Таким образом, вектор EM разложен по векторам AC, AB, AD.