Две окружности имеют общий центр. Докажите, что хорды большей окружности, касающиеся меньшей окружности, равны между собой. Докажите, что отрезки общих внутренних касательных к двум окружностям одинакового радиуса в точке пересечения делятся пополам.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть две окружности имеют общий центр O и радиусы r и R (r < R), причем окружность с радиусом r касается внутренним образом большей окружности с радиусом R.

Проведем от центра O перпендикуляр к обеим хордам. Так как хорды равны, то получим два равнобедренных треугольника, в каждом из которых угол при основании равен прямому. Из этого следует, что треугольники равны, и соответственно хорды также равны.

Чтобы доказать, что отрезки общих внутренних касательных делятся пополам, обозначим точки касания с окружностями как A и B. Проведем главные общие внутренние касательные и соединим точку их пересечения с центром окружностей O.

Так как обе окружности имеют равные радиусы, то отрезки AO и BO равны между собой. Также треугольники AOB и OBM (где M - точка их пересечения) подобны по теореме об углу между касательной и радиусом, следовательно, отрезки AM и MB тоже равны между собой. Таким образом, отрезки общих внутренних касательных делятся пополам.