Дана правильная четырёх угольная пирамида с длинной диагонали основания равной 10 см и длиннами боковых рёбер 12 см. Найти площадь данной поверхшости обём пирамиды и площадь диагонального сечения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Первым шагом найдем площадь поверхности пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

S = 1/2 p l,

где p - периметр основания пирамиды, l - длина бокового ребра.

Поскольку у нас четырехугольная пирамида, периметр основания равен 4 * сторона основания.

Из условия дано, что длинна диагонали основания равна 10 см, значит сторона основания равна половине длины диагонали (так как основание является ромбом).

a = 10 / 2 = 5 см.

Теперь вычислим периметр основания:

p = 4 a = 4 5 = 20 см.

Теперь вычислим площадь поверхности пирамиды:

S = 1/2 20 12 = 120 см².

Следующим шагом вычислим объем пирамиды. Объем правильной пирамиды вычисляется по формуле:

V = 1/3 S_osnovaniya h,

где S_osnovaniya - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Так как у нас четырехугольная пирамида, а основание у нас ромб, площадь основания вычисляется по формуле:

S_osnovaniya = a^2,

S_osnovaniya = 5^2 = 25 см².

Из условия дано, что длина диагонали равна 10 см, а диагональ ромба делит его на 2 равных треугольника, поэтому высота равна треугольнику, образующемуся из диагонали и высоты пирамиды . Для вычисления используем теорему Пифагора для поиска высоты:

h = sqrt(12^2 - (5/2)^2) = sqrt(144 - 6.25) = sqrt(137.75) ≈ 11.74 см.

Теперь вычисляем объем пирамиды:

V = 1/3 25 11.74 ≈ 97.83 см³.

Наконец, вычислим площадь диагонального сечения. Из геометрии правильной четырехугольной пирамиды известно, что диагональное сечение является прямоугольным треугольником с гипотенузой равной длине диагонали основания (10 см), а катетами - сторонами основания, то есть 5 см и 5/√2 см. Поэтому площадь диагонального сечения равна:

S = 1/2 катет1 катет2 = 1/2 5 5/√2 = 12.5/√2 ≈ 8.84 см².

Итак, мы нашли площадь поверхности пирамиды (120 см²), объем пирамиды (97.83 см³) и площадь диагонального сечения (8.84 см²).