Докажите, что параллелограмм, у которого все углы равны, а диагонали перпендикулярны, является квадратом.
Докажите, что параллелограмм, у которого все углы равны, а диагонали перпендикулярны, является квадратом.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Подробнее
Пусть ABCD - параллелограмм со всеми углами равными и диагоналями перпендикулярными.
Из условия следует, что угол B = угол C = угол D = угол A. Поскольку сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов, то каждый угол равен 90 градусов.
Также из условия диагонали перпендикулярны. Возьмем два треугольника ADC и BCD, в каждом из которых один угол равен 90 градусов. Так как диагонали перпендикулярны, то угол DCA = угол DCB.
Теперь рассмотрим треугольники ACD и BCD. Угол ACD = 90 - угол DCA = 90 - угол DCB = угол BCD. Таким образом, углы всех треугольников равны, а значит, данные треугольники равнобедренные.
Из свойств равнобедренных треугольников следует, что AC = AD и BC = CD. Таким образом, параллелограмм ABCD является ромбом.
Теперь посмотрим на треугольники ADB и BAC. Угол DAB = угол ABC = 90 градусов (поскольку углы ABCD равны), а также стороны AD = AB и BD = BC равны (поскольку ABCD - ромб). Таким образом, треугольники ADB и BAC равны, а значит DA = DB и AB = BC.
Итак, получаем, что все стороны параллелограмма равны между собой. Так как все углы параллелограмма равны 90 градусов, то это параллелограмм является квадратом.