Дан четырёхугольник ABCD, в котором ∠ABD=∠DBC=60∘, ∠ADB=40∘, а ∠BDC=70∘. Найдите угол между его диагоналями.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что трапеция ADBC является вписанным четырёхугольником, поэтому сумма противоположных углов трапеции равна 180°.

Из условия задачи:
∠ADB = 40°
∠ABD = ∠DBC = 60°
∠BDC = 70°

Тогда ∠ADС = 180° - ∠BDC = 180° - 70° = 110°

Так как ∠ADB = ∠BDC, то треугольник ABD равнобедренный, поэтому ∠ABD = ∠ADB = (180° - 40°)/2 = 70°

Из равнобедренности треугольника ABD следует, что ∠DAB = ∠DBA = (180° - 70°)/2 = 55°

Теперь рассмотрим треугольник ACB:
∠ACB = ∠ADB + ∠BDC = 40° + 70° = 110°
∠CAB = ∠DAB = 55°
∠CBA = ∠DBA = 55°

Таким образом, угол между диагоналями четырёхугольника ABCD равен
∠CAB + ∠CBA = 55° + 55° = 110°.