В треугольнике АВС проведены биссектрисы АД и СЕ. Найдите радиус вписанной окружности в треугольнике ВДЕ, если АС = 60, АЕ = 20, СД = 30.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины отрезков BC, AB и BC.

Так как AD — биссектриса угла A, то BD/DC = AB/AC. Значит, BD = AB DC / (AC + AB) = 40 30 / (60 + 40) = 12. Также AE — биссектриса угла A, значит, DE/CE = AD/AE, отсюда DE = CE AD / AE = 30 60 / 20 = 90.

Итак, мы видим, что треугольник BDE — прямоугольный, и легко вычисляем DE = √(BD CD) = √(12 90) = √(1080) = 6√30.

Теперь найдем высоту треугольника BDE. Определим площадь треугольника BDE двумя разными способами. С одной стороны, это 1/2 BD DE, с другой - это s * r, где s = (BD + DE + BE) / 2.

Значит, s = (BD + DE + BE) / 2 = (12 + 6√30 + BE) / 2.

Таким образом, S = 1/2 12 6√30 = s * r.

Теперь нужно определить обратную величину r, для этого найдем s. Напомним, что BD + DE + BE = 30 по построению.

Таким образом, r = 3.