Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=21 см, BC=5 см, а площадь трапеции AEFD относится к площади трапеции EFCB как 45:7.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины отрезков AE и FD как x и y соответственно.

Так как прямая параллельна основаниям трапеции, то AE || CD и FD || AB. Тогда по теореме Талеса получаем:

$\frac{EF}{AD} = \frac{EA}{AC} = \frac{FD}{BC}$

$\frac{EF}{21} = \frac{x + y}{26} = \frac{y}{5}$

Отсюда получаем систему уравнений:

$5x + 5y = 21y$

$x = 4y$

Также по условию задачи площадь трапеции AEFD равна $\frac{45}{7}$ от площади трапеции EFCB, то есть:

$\frac{\frac{1}{2} (x + 5)(21 + y)}{\frac{1}{2}(x + y)(5+26)} = \frac{45}{7}$

$\frac{(x + 5)(21 + y)}{(x + y)31} = \frac{45}{7}$

Подставим x = 4y:

$\frac{(4y + 5)(21 + y)}{5y31} = \frac{45}{7}$

$4y^2 + 29y + 105 = 155y$

$4y^2 - 126y + 105 = 0$

$y^2 - 31y + 26 = 0$

Решив квадратное уравнение, найдем два значения y: y1 = 1 см и y2 = 26 см.

Отсюда найдем x: x1 = 4 см и x2 = 104 см.

Так как отрезок EF равен сумме x и y, возможные варианты для его длины будут: 5 см (1+4), 105 см (104+1) и 30 см (26+4).

Итак, длина отрезка EF равна 30 см.