Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если диагональ равна 12 см, а боковая сторона - 9 см Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите диагональ трапеции, если радиус описанной окружности равен 13 см, а боковая сторона - 10 см
Пусть (a) - диагональ равнобедренной трапеции, (b) - боковая сторона, (R) - радиус описанной окружности Из условия задачи имеем, что диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Тогда получаем, что боковая сторона является высотой треугольника, образованного диагональю и радиусом описанной окружности.
Так как боковая сторона является высотой, а радиус описанной окружности является гипотенузой, то можем составить прямоугольный треугольник. Пусть (h) - высота треугольника, (r) - радиус описанной окружности [h^2 + (b/2)^2 = R^2 [h^2 + (9/2)^2 = 12^2 [h^2 + 81/4 = 144 [h^2 = 144 - 81/4 [h^2 = 363/4 [h = \sqrt{363}/2]
Теперь из условия задачи можно составить уравнение для радиуса описанной окружности [R = a/2 [R = 12/2 [R = 6]
Ответ: радиус окружности, описанной около трапеции, равен 6 см.
Аналогично, для второго случая, можно составить уравнение для диагонали трапеции [h^2 + (b/2)^2 = R^2 [h^2 + (10/2)^2 = 13^2 [h^2 + 25 = 169 [h^2 = 169 - 25 [h^2 = 144 [h = 12]
Теперь из условия задачи можно составить уравнение для диагонали трапеции [a = \sqrt{h^2 + b^2} [a = \sqrt{12^2 + 10^2} [a = \sqrt{144 + 100} [a = \sqrt{244} [a = 2\sqrt{61}]
Пусть (a) - диагональ равнобедренной трапеции, (b) - боковая сторона, (R) - радиус описанной окружности
Из условия задачи имеем, что диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Тогда получаем, что боковая сторона является высотой треугольника, образованного диагональю и радиусом описанной окружности.
Так как боковая сторона является высотой, а радиус описанной окружности является гипотенузой, то можем составить прямоугольный треугольник. Пусть (h) - высота треугольника, (r) - радиус описанной окружности
[h^2 + (b/2)^2 = R^2
[h^2 + (9/2)^2 = 12^2
[h^2 + 81/4 = 144
[h^2 = 144 - 81/4
[h^2 = 363/4
[h = \sqrt{363}/2]
Теперь из условия задачи можно составить уравнение для радиуса описанной окружности
[R = a/2
[R = 12/2
[R = 6]
Ответ: радиус окружности, описанной около трапеции, равен 6 см.
Аналогично, для второго случая, можно составить уравнение для диагонали трапеции
[h^2 + (b/2)^2 = R^2
[h^2 + (10/2)^2 = 13^2
[h^2 + 25 = 169
[h^2 = 169 - 25
[h^2 = 144
[h = 12]
Теперь из условия задачи можно составить уравнение для диагонали трапеции
[a = \sqrt{h^2 + b^2}
[a = \sqrt{12^2 + 10^2}
[a = \sqrt{144 + 100}
[a = \sqrt{244}
[a = 2\sqrt{61}]
Ответ: диагональ трапеции равна (2\sqrt{61}) см.