Диагонали АС и BD трапеции АВСD пересекаются в точке О. Площади треугольников АОD и ВОС равны соответственно 25 см^2 и 16 см^2. Найдите площадь трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим основания трапеции как a и b, а высоту как h. Так как диагонали трапеции делятся друг другом пополам, то точка О является серединой обеих диагоналей.

Теперь рассмотрим треугольник АОD. Так как точка О является серединой диагонали AC, то площадь треугольника АОD равна половине площади трапеции, т.е. 25 см^2.

Перейдем к треугольнику ВОС. Так как точка О также является серединой диагонали BD, площадь треугольника ВОS также равна половине площади трапеции, т.е. 16 см^2.

Теперь у нас есть система уравнений
a h = 5
b h = 32

Умножив первое уравнение на b и второе на a, а затем сложив их, получаем
ah + bh = 50b + 32
h(a + b) = 50b + 32a

Так как a+b – основание трапеции, а h – ее высота, заметим, что ah + bh = площади трапеции, т.е. a*b = 50 + 32 = 82.

Ответ: площадь трапеции равна 82 см^2.