Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K. Основание BC в два раза меньше основания AD. Точка М-середина основания ВС. Отрезок АМ пересекается с диагональю BD в точке L, а отрезок DM пересекается с диагональю АС в точке N. Найдите площадь четырехугольника KLMN, если известно, что площадь трапеции ABCD равна 90.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB = a, AD = 2a, BC = b, BK = x, KD = 2x.

Так как MN || AD, то треугольники KAM и KDL подобны
Следовательно, AM : KD = AK : DL, откуда AM/2x = (a + x)/(2x - x).

Из подобия треугольников AKM и NDM следует, что AK/ND = AM/MD, откуда AK = 2AM, ND = 2MD.

Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников KAM и NDM:

90 = (1/2)AM(AK + x) + (1/2)MD(ND + a).

Подставляем AK = 2AM и ND = 2MD:

90 = (1/2)AM(2AM + x) + (1/2)MD(2MD + a).

Так как AM = b/2 и MD = a/2, то получаем:

90 = (1/2)(b/2)(b + x) + (1/2)(a/2)(a + x).

180 = (b/4)(b + x) + (a/4)(a + x).

Умножаем на 4:

720 = b(b + x) + a(a + x).

Разложим площадь четырехугольника KLMN на площади треугольников KAL, AML, KDN и MNC
Получим 90 = (1/2)AKAL + (1/2)AMML + (1/2)NDDM + (1/2)MCNC
Подставляем AK = 2AM и ND = 2MD, а также AM = b/2 и MD = a/2
90 = (1/2)2(b/2)AL + (1/2)(b/2)(b/2) + (1/2)2(a/2)DM + (1/2)(a/2)(b/2)
Упрощаем
90 = b/2AL + b^2/8 + a/2DM + ab/8
Подставляем AL = x + a, DM = x - b
90 = b/2(x + a) + b^2/8 + a/2(x - b) + ab/8
90 = (bx + ba)/2 + b^2/8 + (ax - ab)/2 + ab/8
180 = bx + ba + 4b^2 + 4ax - 4ab + ab
180 = bx + ba + 4b^2 + 4ax - 3ab
Подставляем полученные уравнения и находим x
720 = b(b + x) + a(a + x)
720 = b^2 + bx + a^2 + ax
720 = b^2 + bx + a^2 + ax
720 = b^2 + bx + (4b)^2/a + b(2b) + bx
720 = b^2 + bx + (4b)^2/a + b(2b) + bx
720 = b^2 + bx + 16b^2/a + 2b^2 + bx
720 = 3b^2 + 2bx + 16b^2/a
720a = 3ab^2 + 2abx + 16b^2
720a = b(3b + 2x + 16)
720a = b(3b + 2(x + 8))
720a/(3b + 2(x + 8)) = b
Подставляем b
720a/(3*2a + 2(x + 8)) = 2a
720a/(6a + 2(x + 8)) = 2a
360a = 12a^2 + 4a(x + 8)
0 = 12a^2 - 356a + 4ax + 32a
0 = 12a^2 - 356a + (4x + 32)a
x = 74 - 4x - 32
-4x - x = -74 - 32
-5x = -106
x = 106/5.

Теперь находим AM: AM = b/2 = 106/5 1/2 = 53/5
Площадь четырехугольника KLMN равна сумме площадей треугольников KAL, AML, KDN и MNC
S = 1/2 AK AL + 1/2 AM ML + 1/2 ND DM + 1/2 MC NC
Подставляем AK = 2AM и ND = 2MD, а также AM = 53/5 и MD = a/2
S = 1/2 2 (53/5) (x + a) + 1/2 (53/5) (b/2) + 1/2 2 (a/2) (x - b) + 1/2 (b/2) (a/2)
S = 1/2 2 53/5 (106/5 + a) + 1/2 53/5 (a/2) + 1/2 2 (a/2) (106/5 - a) + 1/2 (a/2) (a/2)
S = 53 (106/25 + a) + 53 (a/4) + (106/5 - a) + (a/8)
S = 53 (106/25 + 5a/5) + 53 (a/4) + 106/5 - a + a/8
S = 53 (106/5) + 53 (a/4) + 106/5 - 7a/8
S = 5618 + 53 (a/4) - 7a/8.

Учитывая, что S = 90, решаем уравнение:

5618 + 53 * (a/4) - 7a/8 = 90
5618 + 53a/4 - 7a/8 = 90
5618 + 265/4a - 7/8a = 90
5618 + 265a/4 - 7a/8 = 90
5618a + 265/4 - 7a/8 = 90
5618a = 1375
a = 1375/5618.

Теперь можно найти площадь четырехугольника KLMN, подставив a в выражение для S. Получится, что S = 90.