К окружности радиуса R из внешней точки М проведены касательные МА и МВ, образующие угол α. Определите площадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей дугой коружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей дугой окружности, равна разности площадей сектора и треугольника.

Площадь сектора равна S1 = (α/360) π R^2.

Треугольник МАВ – прямоугольный с гипотенузой R и катетами R и Rtg(α/2), где tg(α/2) = (R/2)/R = 1/2. Площадь треугольника равна S2 = 1/2 R Rtg(α/2) = 1/2 R^2 1/2 = 1/4 * R^2.

Итак, площадь фигуры равна S = S1 - S2 = (α/360) π R^2 - 1/4 R^2 = 1/4 (4α/360 π - π) R^2 = 1/4 ((α π)/90 - π) R^2 = 1/4 π (α/90 - 1) R^2.

Таким образом, площадь фигуры равна 1/4 π (α/90 - 1) * R^2.