Докажите, что отрезки касательных к окружности , проведенные из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке О и точка А вне окружности, из которой проведены два касательных отрезка AB и AC.

Так как AB и AC - касательные к окружности из одной точки A, то они перпендикулярны радиусам окружности, проведенным из точки A к точкам касания B и C соответственно.

Таким образом, треугольники OAB и OAC являются прямоугольными, причем OA - общая сторона, а угол OAB равен углу OAC, так как они опираются на радиусы, проведенные к касательным и к проведенной прямой.

Так как треугольники OAB и OAC подобны (у них есть общий угол, а две другие углы - прямые), то по свойству подобных треугольников отношение длины отрезка AB к длине отрезка AC равно отношению длины радиуса к длине радиуса, то есть AB = AC.

Таким образом, отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.