1.В треугольнике ABC угол C равен 15 , а сторона AB равна биссектрисе BD. Найдите углы треугольника ABC. 2.Высоты BH и BK, проведённые из вершины тупого угла B параллелограмма ABCD, делят угол ABC на три равные части, BH = 11 и BK = 9. Найти углы параллелограмма и периметр четырёхугольника BHDK. 3.Точка M - середина стороны AB равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) . Через точку M проведена прямая, перпендикулярная стороне BC, она пересекает её в точке K , а продолжение стороны AC в точке D, при этом MA = AD. Найти периметр треугольника ABC, если BK = 2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Учитывая, что угол C равен 15 градусам, угол A будет равен 180 - 15 - 15 = 150 градусов. Так как сторона AB равна биссектрисе BD, угол ABC будет равен углу CBD, то есть 15 градусам. Следовательно, угол BAC будет равен (180 - 15)/2 = 82.5 градусов. Таким образом, углы треугольника ABC равны: A = 150 градусов, B = 82.5 градусов, C = 15 градусов.

Поскольку высоты BH и BK делят угол ABC на три равные части, угол ABC равен 3 * 60 = 180 градусов, то есть треугольник ABC является равносторонним. Таким образом, углы параллелограмма ABCD равны 120 градусам.

По теореме косинусов в треугольнике BHK:
HK^2 = BH^2 + BK^2 - 2 BH BK cos(180-120) = 121 + 81 + 198 (-1/2) = 121 + 81 - 99 = 103
Отсюда
HK = sqrt(103) = 10,1

Так как BH и HK равны 11 и 10,1, соответственно, то периметр четырехугольника BHDK равен 11 + 10,1 + 9 + 10,1 = 40,2.

Треугольник ABC равнобедренный, значит AM = BM = MC. Так как MA = AD и BK = 2, то AB = 2 * BK = 4. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC = AB = 4. Таким образом, периметр треугольника ABC равен 4 + 4 + 4 = 12.