Угол при основании равнобедренного треугольника равен a. Радиус вписанной окружности равен r. Найти стороны треугольника и радиус описанной окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основание равнобедренного треугольника равно a, то есть стороны треугольника равны a, a, и c.

Так как угол при основании равнобедренного треугольника равен a, то угол между боковой стороной и основанием равен (180 - 2a) / 2 = 90 - a. Таким образом, мы получаем, что треугольник является прямоугольным.

Из условия, что радиус вписанной окружности равен r, мы знаем, что площадь треугольника равна S = r * p, где p - полупериметр треугольника.

Так как треугольник прямоугольный, то мы можем выразить площадь через катеты: S = (a a) / 2 = r p.

Отсюда найдем полупериметр треугольника: p = a + sqrt(2) * r.

Также из условия равнобедренности треугольника следует, что a / 2 + r = c.

Из этого уравнения найдем сторону c: c = a + 2r.

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника получаем: (a^2 + a^2) = c^2, откуда c = sqrt(2) * a.

Теперь найдем радиус описанной окружности. Для этого воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности: r = p - c = a + sqrt(2) r - sqrt(2) a.

Из этого уравнения найдем радиус описанной окружности: R = (a + sqrt(2) * r) / 2.