На прямой последовательно отмечены точки A, B, C и D; AC=8 см . BD=6 см . BC=3 см . найдите AD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть угол BAC = α, угол BCD = β. Тогда угол BAC+BCD = 180°.

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBC*cos(α)

8^2 = AB^2 + 3^2 - 2AB3*cos(α)

64 = AB^2 + 9 - 6AB*cos(α)

AB(cos(α) - 6) = 55

AB = 55 / (cos(α) - 6)

Стороны треугольника ABC удовлетворяют условию задачи: AB + BC > AC

Подставим найденное значение AB в это неравенство и найдем диапазон значений угла α:

55 / (cos(α) - 6) + 3 > 8
55 / (cos(α) - 6) > 5
55 > 5*cos(α) - 30
cos(α) < 17/5
α < arccos(17/5)

Теперь рассмотрим треугольник BCD:

BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BCCD*cos(β)

6^2 = 3^2 + CD^2 - 23CD*cos(β)

36 = 9 + CD^2 - 6CD*cos(β)

CD^2 - 6CD*cos(β) - 27 = 0

Решив квадратное уравнение, найдем CD:
CD = 9

Теперь найдем AD по теореме косинусов для треугольника ACD:

AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2ACCD*cos(Бетта)

AD^2 = 8^2 + 9^2 - 289*cos(β)

AD = sqrt(64 + 81 - 144) = sqrt(1) = 1

Итак, AD = 1 см.