В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если диагональ основания равна высоте цилиндра.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона основания правильной шестиугольной призмы равна а, высота цилиндра h, тогда диагональ основания равна 2а.

Угол между диагональю боковой грани и осью цилиндра можно найти, используя теорему косинусов в треугольнике, где косинус угла равен отношению смежного катета к гипотенузе.

По теореме Пифагора для треугольника с катетами а и h, гипотенуза будет равна sqrt(a^2 + h^2).

Косинус угла между диагональю боковой грани и осью цилиндра будет равен
cos(угол) = h / sqrt(a^2 + h^2)

Так как диагональ основания равна 2а, а сторона основания а равна 2 (a / 2 tg(30)) = a / tg(30), где tg(30) = sqrt(3) / 3.

Таким образом, h = 2 / sqrt(3) * а.

Подставим это значение h в выражение для косинуса угла
cos(угол) = (2 / sqrt(3) a) / sqrt(a^2 + (2 / sqrt(3) a)^2) = 1 / sqrt(3).

Следовательно, угол между диагональю боковой грани и осью цилиндра равен arccos(1 / sqrt(3)) ≈ 35.26 градусов.