В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной С, и острым углом 30°. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найти объем пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся формулой для объема пирамиды:
V = (1/3) S h,
где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Площадь основания пирамиды равна:
S = 1/2 a b,
где a и b - катеты прямоугольного треугольника.

Так как у нас прямоугольный треугольник с гипотенузой С и углом 30°, то катеты будут равны:
a = C cos(30°),
b = C sin(30°).

h - высота пирамиды, опущенная из вершины пирамиды на основание. Таким образом, у нас имеется прямоугольный треугольник с катетами, равными C и h, и углом между ними 45°. Тогда:
h = C * sin(45°).

Подставим все значения в формулу для объема пирамиды:
V = (1/3) (1/2 C cos(30°) C sin(30°)) (C sin(45°))
V = (1/3) (1/2 C^2 cos(30°) sin(30°)) (C sin(45°))
V = (1/3) (1/4 C^2 sin(60°)) (C sin(45°))
V = (1/3) (1/4 C^2 sqrt(3)/2) (C sqrt(2)/2)
V = (1/3) (C^3 sqrt(3)/8)
V = C^3 sqrt(3)/24.

Таким образом, объем пирамиды равен C^3 * sqrt(3)/24.