Около окружности радиуса r описана равнобокая трапеция с основаниями 2a и 2b. докажите что r^2=ab

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точки A, B, C и D - вершины трапеции, где AB и CD - основания, а BC и AD - боковые стороны. Пусть O - центр окружности, описанной около данной трапеции.

Так как ABCD - равнобедренная трапеция, CD = AB = 2a, а BC = AD = 2b.

Также из теоремы о центральном угле следует, что угол AOB = 2∠ACB и угол COD = 2∠DBC.

Так как ABCD - равнобочная трапеция, то ∠ACB = ∠DBC. Поэтому ∠AOB = ∠COD.

Теперь мы знаем, что ∠AOB = ∠COD = x (пусть x - мера угла ∠AOB).

Так как в четырехугольнике ABOC сумма углов равна 360°, получаем:

2x + 2x = 360°
4x = 360°
x = 90°

Это означает, что треугольник AOB прямоугольный.

Так как AOB - прямоугольный треугольник и OA = OB = r (радиус окружности), то по теореме Пифагора:

AB^2 = OA^2 + OB^2
(2a)^2 = r^2 + r^2
4a^2 = 2r^2
r^2 = 2a^2

Аналогично, для треугольника COD:

CD^2 = OC^2 + OD^2
(2b)^2 = r^2 + r^2
4b^2 = 2r^2
r^2 = 2b^2

Таким образом, мы имеем, что r^2 = 2a^2 = 2b^2. Из этого следует, что ab = 1/2 2a 2b = 2a * 2b = 4ab.

Поделим обе части на 4:

r^2 = ab

Таким образом, доказано, что r^2 = ab.