Около окружности радиуса 1 с центром в точке O описан равнобедренный треугольник ABC с углом B, равным 120 градусам. Через точку O проведена прямая, параллельная стороне AC, она пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Найдите длину отрезка MN.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку, в которой пересекаются прямые MN и OB, через D. Так как треугольник ABC равнобедренный и (\angle B = 120^\circ), то (\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ).

Так как прямая MN параллельна стороне AC, то (\angle A = \angle MOD = 30^\circ). Также, так как треугольник ADO равнобедренный (AD = AO, так как прямоугольный треугольник ADO равнобедренный и (\angle ADO = \angle AOD = 30^\circ)), то (\angle OAD = \angle ODA = 75^\circ). Теперь заметим, что треугольник BOD равнобедренный с углами (\angle BOD = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ) и (\angle OBD = \angle ODB = \frac{180^\circ - 150^\circ}{2} = 15^\circ).

Так как треугольник OMD прямоугольный и (\angle OMD = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ), то (\angle ODM = 180^\circ - 75^\circ - 30^\circ = 75^\circ). Таким образом, треугольник OMD равнобедренный c (\angle ODM = \angle OMD = 75^\circ).

Отсюда получаем, что (\angle DOA = \angle MOD = 30^\circ) и, следовательно, treangle ODA равнобедренный c (OD = AO). Таким образом, треугольники AMN и OMD конгруэнтны (по стороне и двум углам) и, следовательно, (MN = OD = 1).

Итак, длина отрезка MN равна 1.