Подобные треугольники.
Периметры равносторонних треугольников MKL и ABC относятся как 9:4. Найдите длину биссектрисы MP треугольника MKL, если длина биссектрисы AE треугольника ABC равна 16.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Так как треугольник MKL равносторонний, то биссектриса MP является медианой и высотой данного треугольника. Таким образом, треугольник MKL оказывается равнобедренным.

Из условия задачи мы знаем, что периметры треугольников MKL и ABC относятся как 9:4. Так как треугольник MKL равносторонний, его периметр равен 9L, где L – длина стороны равностороннего треугольника MKL.

Тогда сторона треугольника ABC равна 4L.

Длина биссектрисы треугольника ABC равна ( h_A = \sqrt{bc\left(1-\left(\frac{a}{b+c}\right)^2\right)} ) , где a, b, c – стороны треугольника ABC.

Подставим известные значения и найдем длину биссектрисы AE:
( h_A = \sqrt{1616\left(1-\left(\frac{4L}{4L+4L}\right)^2\right)} = \sqrt{256(1-\frac{1}{2})} = \sqrt{256\frac{1}{2}} = 16 ) .

Теперь найдем длину стороны равностороннего треугольника MKL:
(9L = 3a = 4L ) , где а – длина стороны треугольника ABC.

Отсюда получаем, что (L = \frac{4}{5}) , следовательно, сторона треугольника MKL равна 4.

Теперь найдем длину медианы треугольника MKL:
(h_M = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2-c^2} = \frac{1}{2}\sqrt{24^2-4^2} = \frac{1}{2}\sqrt{48} = \sqrt{12}).

Итак, длина биссектрисы MP треугольника MKL равна (\boxed{\sqrt{12}}).