Котангенс суммы двух углов треугольника равен 1/6. Найти котангенс третьего угла этого треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим формулу для котангенса суммы двух углов:

ctg(A + B) = (ctg A * ctg B - 1) / (ctg A + ctg B)

Мы знаем, что ctg(A + B) = 1/6. Пусть третий угол треугольника равен C, тогда A + B + C = 180°.
Значит, ctg C = ctg(180° - (A + B)) = ctg(A + B).

Теперь подставим ctg(A + B) = 1/6 в формулу и найдем ctg C:

1/6 = (ctg A * ctg B - 1) / (ctg A + ctg B)

1/6 = (ctg A * (1/6 - ctg A) - 1) / (ctg A + 1/6 - ctg A)

1/6 = (1/6 * ctg A - ctg A^2 - 1) / (1/6)

1 = ctg A - 6ctg A^2 - 6

6ctg A^2 + ctg A - 7 = 0

Теперь решим квадратное уравнение относительно ctg A:

D = 1 + 4 6 7 = 169
D = 13^2

ctg A = (-1 ± 13) / (2 * 6)
ctg A = 12/12 = 1 или ctg A = -14/12 = -7/6

Так как ctg A = 1, то ctg C = ctg(A + B) = 1/6.