Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором CD=5, BD1=10. Найдите угол между прямой BD1 и плоскостью ADD1A.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения угла между прямой и плоскостью нужно воспользоваться формулой:

cos(угол) = |(n1 n2)| / (|n1| |n2|),

где n1 и n2 - нормали к плоскости и прямой соответственно.

Нормаль к плоскости ADD1A можно найти как векторное произведение векторов AD и AD1 (так как плоскость проходит через две её стороны):
n1 = AD x AD1.

AD = AA1 + AD1 = AA1 - AB = (0,0,0) - (0,10,0) = (0,-10,0),
AD1 = AD1A1 + AD = AB + AC = (0,10,5) - (0,10,0) = (0,0,5).

n1 = (0,-10,0) x (0,0,5) = (-50,0,0).

Нормаль к прямой BD1 - это вектор, параллельный BD1: n2 = BD1 = (0,0,10).

Теперь подставляем значения в формулу:

cos(угол) = |((-50,0,0) (0,0,10))| / (|(-50,0,0)| |(0,0,10)|) = |0| / (50*10) = 0 / 500 = 0.

Следовательно, угол между прямой BD1 и плоскостью ADD1A равен 90 градусов.