Площадь равностороннего треугольника,построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника,вдвое больше площади последнего. Определить углы прямоугольного треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона катета прямоугольного треугольника равна (a), а сторона гипотенузы равна (c).

Так как равносторонний треугольник построен на гипотенузе, то его сторона равна (2c).

Площадь прямоугольного треугольника равна:
[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c]
Площадь равностороннего треугольника равна:
[S' = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2c)^2 = \sqrt{3} \cdot c^2]

Так как площадь равностороннего треугольника вдвое больше площади прямоугольного треугольника, то:
[\sqrt{3} \cdot c^2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c]

Разделим обе части уравнения на (c):
[\sqrt{3} \cdot c = \frac{1}{2} \cdot a]
[a = 2\sqrt{3} \cdot c]

По теореме Пифагора:
[a^2 + c^2 = (2\sqrt{3} \cdot c)^2 + c^2 = 4 \cdot 3 \cdot c^2 + c^2 = 13 \cdot c^2]

Так как сторона катета неотрицательная величина, то (c > 0). Отсюда, (c = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} > 0).

Так как (a = 2\sqrt{3} \cdot c), то (\frac{a}{2\sqrt{3}} = c).

Подставим значения (c) и (a) в уравнение Пифагора:
[13 \cdot \left(\frac{a}{2\sqrt{3}} \right)^2 = \left(\frac{a}{2\sqrt{3}} \right)^2 + a^2 = \frac{a^2}{12} + a^2 = \frac{13a^2}{12} = 13 \cdot c^2]
[\frac{a^2}{12} = c^2]

Отсюда находим, что углы прямоугольного треугольника равны: (30^\circ), (60^\circ) и (90^\circ).