Площадь равностороннего треугольника,построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника,вдвое больше площади последнего. Определить углы прямоугольного треугольника.

19 Янв 2020 в 19:45
165 +1
0
Ответы
1

Пусть сторона катета прямоугольного треугольника равна (a), а сторона гипотенузы равна (c).

Так как равносторонний треугольник построен на гипотенузе, то его сторона равна (2c).

Площадь прямоугольного треугольника равна:
[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c]
Площадь равностороннего треугольника равна:
[S' = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2c)^2 = \sqrt{3} \cdot c^2]

Так как площадь равностороннего треугольника вдвое больше площади прямоугольного треугольника, то:
[\sqrt{3} \cdot c^2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c]

Разделим обе части уравнения на (c):
[\sqrt{3} \cdot c = \frac{1}{2} \cdot a]
[a = 2\sqrt{3} \cdot c]

По теореме Пифагора:
[a^2 + c^2 = (2\sqrt{3} \cdot c)^2 + c^2 = 4 \cdot 3 \cdot c^2 + c^2 = 13 \cdot c^2]

Так как сторона катета неотрицательная величина, то (c > 0). Отсюда, (c = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} > 0).

Так как (a = 2\sqrt{3} \cdot c), то (\frac{a}{2\sqrt{3}} = c).

Подставим значения (c) и (a) в уравнение Пифагора:
[13 \cdot \left(\frac{a}{2\sqrt{3}} \right)^2 = \left(\frac{a}{2\sqrt{3}} \right)^2 + a^2 = \frac{a^2}{12} + a^2 = \frac{13a^2}{12} = 13 \cdot c^2]
[\frac{a^2}{12} = c^2]

Отсюда находим, что углы прямоугольного треугольника равны: (30^\circ), (60^\circ) и (90^\circ).

18 Апр в 19:37
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 95 117 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир