В четырёхугольник ABCD вписана окружност. AB=5, 2CD=AB.Найти периметр четырёхугольника ABCD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус окружности, вписанной в четырехугольник ABCD, равен r.

Так как AB=5, то 2CD=5, отсюда CD=5/2=2.5.

Также известно, что касательная к окружности, проведенная из точки касания четырехугольника ABCD (точки M, N, P и Q), делит сторону четырехугольника на две пропорциональные отрезки. Таким образом, AM=AN=a и BP=BQ=b.

Из пропорций сторон четырехугольника ABCD и радиуса окружности получаем, что:
AM+BM=AB=5,
AN+ND=AD=CD+2r=2.5+2r,
BP+PC=BC=CD+2r=2.5+2r,
BQ+QD=BD=AB=5.

Поэтому получаем, что
a+b=5,
a+2r=2.5,
b+2r=2.5,
a+b=5.

Решая систему уравнений, получаем a=b=2.5 и r=0.5.

Таким образом, периметр четырехугольника ABCD равен:
AB+BC+CD+DA=5+2.5+2.5+2.5 = 12.5.