В треугольнике АВС: угол С = 90град, АС = 15, угол А = 20град. Точка М удалена на расстояние 25 от каждой вершины треугольника. Найти угол между МС и плоскостью АВС. Ответ: 28град 42 мин.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины сторон треугольника АВС, используя теорему синусов
BC = AC sin(A) / sin(C) = 15 sin(20) / sin(90) = 15 sin(20
AB = AC sin(B) / sin(C) = 15 sin(70) / sin(90) = 15 cos(20)

Теперь найдем координаты точки М. Пусть координаты точки А = (0, 0), точки В = (15 cos(20), 15 sin(20)) и точки С = (15, 0)
Точка M находится на равном расстоянии от трех вершин треугольника, поэтому ее координаты будут средними координат вершин треугольника
М = ((0 + 15 cos(20) + 15) / 3, (0 + 15 sin(20) + 0) / 3) = (15 (2 cos(20) + 1) / 3, 5 * sin(20) / 3)

Теперь найдем векторы МС и МН, где Н - проекция точки М на плоскость треугольника АВС. Вектор МС = (15 - 15 (2 cos(20) + 1) / 3, 0, 0 - 5 sin(20) / 3) = (15 (1 - 2 cos(20)) / 3, 0, -5 sin(20) / 3).

Так как вектор НС лежит в плоскости треугольника, то его координата по z равна 0. Тогда координаты точки Н будут: H = (15 (2 cos(20) + 1) / 3, 5 * sin(20) / 3, 0).

Вектор МН = (15 (2 cos(20) + 1) / 3 - 15 (2 cos(20) + 1) / 3, 5 sin(20) / 3 - 5 sin(20) / 3, 0 - 0) = (0, 0, 0). Значит, векторы МС и МН коллинеарны, и угол между МС и плоскостью АВС равен углу, который вектор МС образует со стороной треугольника.

Найдем косинус угла между МС и стороной AB (угол B)
cos(∠B) = (МС AB) / (|МС| |AB|) = (15 (1 - 2 cos(20)) / 3 15 cos(20) + 0 15 sin(20) / 3) / ((15 (1 - 2 cos(20)) / 3)^2 + (0)^2 + (-5 sin(20) / 3)^2)^0.5 (15 cos(20))^0.5 = (15 (1 - 2 cos(20)) / 3 15 cos(20)) / (15 (1 - 2 * cos(20)) / 3)^2 = cos(20).

Таким образом, угол между МС и плоскостью АВС равен arccos(cos(20)) = 28 градусов 42 минуты.