В прямоугольном треугольнике АВС, угол А прямой,АВ=1,а медиана АМ в три раза длиннее этого катета.Чему равна площадь треугольника АВС?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катет ВС равен х, тогда по теореме Пифагора получаем:

АС = √(1^2 + x^2) = √(1 + x^2)

Так как медиана АМ в три раза длиннее катета АВ, то AM = 3x, и BM = 2x.

Теперь найдем площадь треугольника АВС через стороны:

S = (1/2) AB AC = (1/2) AB AM = (1/2) 1 3x = 1.5x

Также по формуле полупериметра для прямоугольного треугольника:

p = (x + 1 + √(1+x^2)) / 2

S = √(p(p-x)(p-1)(p-√(1+x^2))) = √((x+1)(1+√(1+x^2))(√(1+x^2)(1-x/2))) = √((x+1)(1+√(1+x^2))(x/2-1/2)(√(1+x^2))) = 1.5x

Отсюда вытекает, что площадь треугольника АВС равна 1.5х, где х - длина катета ВС.