1.Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба. 2.Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что AE = CF 3.В треугольнике ABC известны длины сторон AB =14, AC = 98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD, перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC в точке D . Найдите CD .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длина диагонали ромба равна 2a, а расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из сторон равно d. Тогда из свойств ромба мы знаем, что угол между диагоналями равен 90 градусов. Из соотношения между диагоналями и углами о ромбе имеем
cos(∠A) = d/
cos(∠B) = d/
cos(∠A+∠B) = -1/
Последнее равенство следует из того, что cos(90°) = 0 и cos(∠A+∠B) = cos(∠A)cos(∠B) - sin(∠A)sin(∠B) = d²/a² - (1 - d²/a²) = -1/
Отсюда получаем значение углов ∠A и ∠B, которые равны 120 градусов.

Для доказательства равенства AE = CF проведем прямую, параллельную стороне AD, через точку O и обозначим точку пересечения этой прямой с стороной BC как G. Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, то точка O является серединой отрезка DG, т.е. DO = OG. Также параллельные прямые AB и CD пересекают прямую, проходящую через точку O, в одинаковых точках E и F, что дает равенство AE = CF.

Так как O - центр описанной окружности, то треугольник АВС является равнобедренным и BD - биссектриса треугольника. Также, из теоремы косинусов для треугольника АВС получаем
BC² = AB² + AC² - 2ABACcos(∠BAC
BC=√(AB² + AC² - 2ABACcos(∠BAC)
Подставляем значения и получаем, что BC = √(14² + 98² - 21498*cos(∠BAC)) = 84.

Теперь, так как BD - биссектриса ∠ABC, имеем
CD/AC = BD/A
CD/98 = 84/1
CD = 98 * 6 = 588.