В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианной, проведёнными из вершины прямого угла, равен 46 градусов. Найдите меньший из двух острых углов треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим меньший из двух острых углов треугольника через α, а острый угол прямоугольного треугольника, не противолежащий этому углу, через β.

Так как угол между высотой и медианной, проведёнными из вершины прямого угла, равен 46 градусов, то угол, образуемый высотой и медианной, равен 180 - 46 = 134 градуса.

Так как медиана разделяет угол на два равных угла, то один из этих углов равен 67 градусов.

Из прямоугольности треугольника следует, что синус угла β равен отношению катета, противолежащего углу β, к гипотенузе.
С другой стороны, тангенс угла β равен отношению катета, противолежащего углу β, к катету, прилежащему к углу β.

Из условия видно, что тангенс угла β равен синусу угла α.
Таким образом, tg(β) = sin(α)
а sin(β)= sin(90° - α) = cos(α)

В итоге получаем, что sin(α) = tg(β) = cos(α).

Так как sin(α) = cos(α), то α = 45 градусов.

Следовательно, меньший из двух острых углов треугольника равен 45 градусов.