В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Найдите угол АВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку E - середина стороны AB, то CE = AE и DE = BE. Так как EC = ED, то треугольники CED и EDC равны по стороне ED и общему углу E. Значит, у них равны и остальные углы: ∠CED = ∠EDC.

Так как треугольники CED и EDC равны, то ∠CED = ∠EDC. Но ∠CED = ∠AEB соседние и вертикальные. Значит, ∠AEB = ∠EDC.

Из параллелограмма ABCD известно, что ∠A = ∠DCB (по свойствам параллелограмма). Так как ∠AEB = ∠EDC и CE = DE, треугольники AEB и CDE подобны в соответствии (по признаку углов). Значит, ∠ABE = ∠CDE.

Так как CE = ED, то параллограмм ABCD — ромб, и равны его диагонали: AC = BD. Значит, треугольники ABC и ABD равны (одна сторона и общие диагонали), а значит, ∠ADB = ∠ACB биссектрисы углов.

Теперь мы знаем, что ∠AD = ∠ABD и ∠ADB = ∠CBA. Итак, ∠ABD + ∠CBA = ∠ADB + ∠ACB. Но ∠ADB = ∠ACB и ∠ABD = ∠CBA. Значит, ∠ABD + ∠ABD = 180°, откуда ∠ABD = 90°.

Итак, угол ABC равен 90 градусов.