Окружность, вписанная в треугольник ABC,касается сторон АВ, ВС и АС в точках М, К и Р соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если АР = 5, ВМ = 6, СК = 7.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть (AB = c), (BC = a), (AC = b), (AM = x), (BK = y), (CL = z). Также обозначим радиус вписанной окружности через (r).

Точка касания окружности со стороной AB (точка М) делит эту сторону на две отрезка длиной (x). Точно так же, точка касания со стороной BC (точка K) делит ее на два отрезка длиной (y), а точка касания со стороной AC (точка L) делит ее на два отрезка длиной (z).

Таким образом, мы можем записать следующую систему уравнений:
[
\begin{cases}
x + z = b,\
x + y = c,\
y + z = a.
\end{cases}
]

Решив эту систему уравнений, мы найдем, что (x = \frac{c + b - a}{2}), (y = \frac{a + c - b}{2}), (z = \frac{a + b - c}{2}).

Так как площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр треугольника (S = r \cdot \frac{a + b + c}{2}), а площадь также равна сумме площадей треугольников BCM, CKA и ABL (каждый из этих треугольников является прямоугольным), то:
[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot y + \frac{1}{2} \cdot b \cdot z + \frac{1}{2} \cdot c \cdot x.]

Так как площадь треугольника со сторонами (a), (b) и (c) равна (S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}), где (p = \frac{a + b + c}{2}), и из предыдущих формул для (r) и (S) следует, что (r = \frac{S}{p}), то:
[r = \frac{\frac{1}{2}ay + \frac{1}{2}bz + \frac{1}{2}cx}{p}.]

Подставим в последнее уравнение формулы для (x), (y) и (z) и найдем радиус вписанной окружности (r = \frac{\frac{1}{2}a\left(\frac{a + c - b}{2}\right) + \frac{1}{2}c\left(\frac{a + b - c}{2}\right) + \frac{1}{2}c\left(\frac{c + b - a}{2}\right)}{p}),

[r = \frac{\frac{1}{2}a(c + b - a) + \frac{1}{2}c(a + b - c) + \frac{1}{2}c(a + c - b)}{2p},]

[r = \frac{ab + ac + bc - a^2 - b^2 - c^2}{4p}.]

Имея радиус вписанной окружности (r), найдем периметр треугольника (P = a + b + c):
[P = \frac{2S}{r},]

[P = \frac{2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{\frac{ab + ac + bc - a^2 - b^2 - c^2}{2p}},]

[P = \frac{4p\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{ab + ac + bc - a^2 - b^2 - c^2}.]

Теперь подставим значения (a = 5), (b = 6), (c = 7) в формулу для (P):
[P = \frac{4 \cdot \frac{18}{2} \cdot \sqrt{\frac{18}{2} \cdot \frac{8}{2} \cdot \frac{12}{2} \cdot \frac{6}{2}}}{30 + 35 + 42 - 25 - 36 - 49},]

[P = \frac{4 \cdot 9 \cdot \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 3}}{108 - 110},]

[P = \frac{36 \cdot 18}{-2},]

[P = -324.]

Таким образом, периметр треугольника ABC будет равен 324.