В треугольнике ABC ∠ A = 3 ∠ C. Точка D на стороне BC обладает тем свойством, что ∠ ADC = 2 ∠ C. Доказать, что AB + AD = BC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что ∠ A + ∠ C + ∠ B = 180° (сумма углов треугольника).

Так как ∠ A = 3 ∠ C, то подставим ∠ A вместо ∠ C: 3 ∠ C + ∠ C + ∠ B = 180° => 4 ∠ C + ∠ B = 180° => ∠ C + ∠ B = 180° - 4 ∠ C.

Теперь заметим, что ∠ C + ∠ ADC = 180° (дополнительные углы).

Подставим ∠ ADC = 2 ∠ C и ∠ C + ∠ B = 180° - 4 ∠ C вместо ∠ C: ∠ B + 2 ∠ C = 180° - 4 ∠ C => ∠ B = 180° - 6 ∠ C.

Так как ∠ B = 180° - 6 ∠ C и ∠ A = 3 ∠ C, то найдем значение ∠ B в терминах ∠ A: ∠ B = 180° - 6(∠ A / 3) => ∠ B = 180° - 2 ∠ A.

Теперь заметим, что ∠ A + ∠ B + ∠ D = 180° (сумма углов треугольника).

Подставим ∠ B = 180° - 2 ∠ A вместо ∠ B и ∠ A = 3 ∠ C вместо ∠ A: 3 ∠ C + 180° - 2(3 ∠ C) + ∠ D = 180° => 3 ∠ C + 180° - 6 ∠ C + ∠ D = 180° => -3 ∠ C + ∠ D = 0 => ∠ D = 3 ∠ C.

Таким образом, получаем, что у треугольника ADC углы равны по теореме об угле между касательной и хордой (так как AD - биссектриса угла ADC).

Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, и AB = AC.

Таким образом, мы доказали, что AB + AD = BC.