Диагональ BD четырехугольника ABCD является биссектрисой его угла, BC*BA=BD2 . Докажите, что LBAD=LBDC. В каком отношении площадь четырехугольника делится его диагональю BD, если известно, что DC:AD=3:2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что треугольники ABC и ABD равнобедренные.

Из условия BC * BA = BD^2 и того факта, что диагональ является биссектрисой угла, следует, что треугольник ABD равнобедренный (BD = AD).

Таким же образом, треугольник BDC равнобедренный (BC = DC).

Из равенства углов в треугольниках ABC и ABD следует, что угол B будет равен углу А. Из равенства углов в треугольники BDC и BCD следует, что угол B равен углу C.

Следовательно, угол BAD равен углу DCB.

Рассмотрим треугольники BAD и BDC. Угол BAD равен углу DCB (по доказанному ранее), угол ABD равен углу DBC (так как треугольник ABC равнобедренный). Таким образом, данные треугольники равны и углы BAD и DBC также равны.

Следовательно, LBAD = LBDC.

Чтобы найти отношение, в котором площадь четырехугольника делится его диагональю BD, воспользуемся теоремой о площадях треугольников. Площадь треугольника равна половине произведения длин его сторон в синусе угла между этими сторонами.

Площадь треугольника ABC = 0.5 BC AB sin(∠ABC) = 0.5 BD AB sin(∠ABC).

Площадь треугольника ABD = 0.5 BD AD * sin(∠BAD).

Тогда площадь четырехугольника ABCD = площадь треугольника ABC + площадь треугольника ABD = 0.5 BD AB sin(∠ABC) + 0.5 BD AD sin(∠BAD) = 0.5 BD (AB + AD) * sin(∠ABC + ∠BAD).

Площадь четырехугольника пропорциональна произведению его диагонали на сумму длин противоположных сторон, поэтому четырехугольник ABCD делится диагональю BD в отношении AB:AD = 1:2.