Сторона треугольника АВС пересечена прямой MN || AC . Периметра треуголиников ABC и MBN относятся как 3: 1 . Площадь АВС равна 144 . Чему равна площадь MBN?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB = a, AC = b, BC = c, AM = x, MN = y, NB = z.

Так как MN || AC, то треугольники ABC и MBN подобны. Поэтому отношения сторон треугольников ABC и MBN равны, т.е.:

a/x = b/y = c/z

По условию, периметры треугольников ABC и MBN относятся как 3:1, поэтому

a + b + c = 3(x + y + z)

Так как площадь треугольника равна половине произведения одной из сторон на высоту, площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу Герона:

S(ABC) = √p(p - a)(p - b)(p - c), где p - полупериметр треугольника

p = (a + b + c) / 2

Подставим значения и учитываем, что S(ABC) = 144:

144 = √(3(x + y + z)/2)(3(x + y + z)/2 - a)(3(x + y + z)/2 - b)(3(x + y + z)/2 - c)

144 = √(3(x + y + z)/2)(3(x + y + z)/2 - a)(3(x + y + z)/2 - b)(3(x + y + z)/2 - c)

Учитывая, что отношения сторон треугольников равны, мы можем выразить a, b и c через x, y и z:

a = 3x, b = 3y, c = 3z

Подставляем:

144 = √(3(x + y + z)/2)(3(x + y + z)/2 - 3x)(3(x + y + z)/2 - 3y)(3(x + y + z)/2 - 3z)

Упростим и решим уравнение:

144 = √(3(x + y + z)/2)(x + y)(y + z)(z + x)

576 = 3(x + y + z)(x + y)(y + z)(z + x)

576 = 3(x + y)(x + z)(y + z)

576 = 3(xy + xz + yz + x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz)

576 = 3(x^2 + y^2 + z^2 + 3xy + 3xz + 3yz)

192 = x^2 + y^2 + z^2 + 3xy + 3xz + 3yz

Теперь, площадь треугольника MBN можно найти, так как треугольники ABC и MBN подобны, с площадями в отношении, равном квадрату отношения сторон:

S(MBN) = S(ABC) (1/3)^2 = 144 (1/9) = 16

Ответ: площадь треугольника MBN равна 16.