Докажите, что если прямые, на которых лежат диагонали четырехугольника являются его осями симметрии, то четырехугольник является ромбом.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть наши прямые, на которых лежат диагонали четырехугольника, являются его осями симметрии. Обозначим точки пересечения диагоналей как A, B, C и D (в порядке обхода).

Так как прямые AB и CD являются осями симметрии, то они делят диагонали AC и BD пополам. Это значит, что точки M и N (середины AC и BD соответственно) являются точками пересечения диагоналей для всего четырехугольника ABCD.

Поскольку диагонали пересекаются в точке O, то точка O также является точкой пересечения медиан треугольника ABC и также треугольника ABD.

Четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали делятся пополам и пересекаются в одной точке. Из свойств параллелограмма следует, что его диагонали делят друг друга пополам и являются взаимноперпендикулярными.

Таким образом, четырехугольник ABCD является ромбом, так как имеет параллельные стороны и взаимно перпендикулярные диагонали.