В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 14, радиус вписанной окружности равен 2, найти гипотенузу

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты треугольника равны a и b, тогда a + b = 14.

Так как радиус вписанной окружности равен 2, то радиус можно найти по формуле:

r = S / p,

где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника, а r - радиус вписанной окружности треугольника.

Также, известно, что S = p * r, где S - площадь треугольника, p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

Тогда S = (p + a + b) / 2 r = (14 + 2) / 2 2 = 16, а также S = a * b / 2.

Из уравнения a + b = 14 находим:

a = 14 - b.

А из уравнения a * b = 32 получаем:

(14 - b) * b = 32,

14b - b^2 = 32,

b^2 - 14b + 32 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

D = 14^2 - 4 1 32 = 196 -128 = 68,

b1 = (14 + √68) / 2, b2 = (14 - √68) / 2.

b1 = (14 + 2√17) / 2 = 7 + √17,

b2 = (14 - 2√17) / 2 = 7 - √17.

Теперь находим a:

a = 14 - b = 14 - (7 + √17) = 7 - √17.

Теперь находим гипотенузу треугольника по теореме Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2,

c = √(a^2 + b^2),

c = √((7 - √17)^2 + (7 + √17)^2) = √(49 - 14√17 + 17 + 49 + 14√17 + 17) = √(132) = 2√33.

Итак, гипотенуза треугольника равна 2√33.