В треугольнике ABC угол B -тупой,AD-биссектриса.Доказать:AD больше чем AB

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть угол ADB равен x, угол ABD равен y.

Так как угол B тупой, то y > 90 градусов.

Также из условия известно, что AD - биссектриса угла BAC.

Из данного свойства биссектрисы следует, что угол BAD равен углу CAD.

Таким образом, у нас имеется два равных угла ADB и BAD, каждый из которых равен x.

Теперь в треугольнике ADB сумма углов равна 180 градусов:

x + x + y = 180

2x + y = 180

Учитывая, что y > 90, мы можем заключить, что 2x < 90.

То есть, x < 45.

Рассмотрим треугольник ABD. По неравенству треугольника у нас справедливо:

AB + BD > AD

AB + AB*sinx > AD

AB(1 + sinx) > AD

Так как sinx > sin45 (так как x < 45), то 1 + sinx > 1 + sin45 > 1 + 1/sqrt(2) > 1 + 1/1.41 > 2.41 > 2.

Значит, AB(1 + sinx) > 2AB > AD.

Таким образом, мы доказали, что AD больше чем AB.