В треугольнике медиана равна половине стороны к которой она проведена. докажите что один из углов этого треугольника равен сумме двух других

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть треугольник ABC имеет стороны a, b и c, а медиана из вершины A делит сторону BC пополам и равна m. Тогда по условию задачи m = b / 2.

Обозначим углы треугольника ABC через α, β и γ, соответственно при вершине A, B и C.

Так как медиана из вершины A делит сторону BC пополам, то медиана m является высотой прямоугольного треугольника ABM, где M - середина стороны BC.

Тогда синус угла β равен sin(β) = m / a = b / (2a), и синус угла γ равен sin(γ) = m / c = b / (2c).

Так как синусы углов треугольника равны отношениям сторон этого треугольника к его радиусу описанной окружности, то имеем следующие равенства:

sin(β) = b / (2a) = R / a,
sin(γ) = b / (2c) = R / c,

где R - радиус описанной окружности треугольника ABC.

Далее, в прямоугольном треугольнике ABM по теореме синусов имеем:

sin(γ) = sin(α) (b / c),
sin(β) = sin(α) (b / a),

Отсюда получаем:

sin(γ) / sin(β) = (b / c) / (b / a) = a / c,

Так как sin(γ) / sin(β) = c / a, то c / a = a / c, и a^2 = c^2, т.е. a = c.

Из этого следует, что угол β и угол γ равны между собой и равны углу α.

Таким образом, один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.