1. Вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, последовательно соединены отрезками. Докажите, что полученный четырёхугольник - правильный. 2. В окружности радиуса два корень из трёх см вписан правильный треугольник. Найдите: а) сторону треугольник; б) радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим вершины правильного восьмиугольника и соединим их отрезками через одну: A, C, E, G, B, D, F, H. Поскольку у правильного восьмиугольника все стороны равны, то и отрезки AC, CE, EG, GB, BD, DF, FH, HA будут равны между собой. Таким образом, полученный четырёхугольник ACEG - это ромб.

Теперь докажем, что ромб ACEG является правильным. Он обладает следующими свойствами правильных ромбов:

Все стороны равны (из построения);Диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам (для ромба это свойство всегда выполняется).

Таким образом, мы доказали, что полученный четырёхугольник ACEG является правильным.

а) Так как радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, является одной из медиан треугольника, то он равен двум третьим стороны треугольника. Поскольку радиус окружности равен двум корням из трёх см, то сторона треугольника равна (2\sqrt{3} \cdot 3 = 6) см
б) Радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен половине стороны треугольника, то есть (6/2 = 3) см.